بخشپذیری چندجملهای ها
تالیف: اصغر ناصری
مردادماه ١٣٩٠ خورشیدی
در تقسیم چندجملهای p(x) بر x-a خارج قسمت را برابر q(x) و باقیمانده را r فرض می کنیم. در این صورت می توان نوشت:
p(x) = (x-a)q(x) + r
اگر در دو طرف این تساوی به جای x مقدار a را قرار دهیم بدست میآید:
p(a) = r
یعنی باقیمانده تقسیم p(x) بر x-a برابر است با p(a). با استفاده از این حقیقت ساده می توان تعداد زیادی از مسایل مربوط به بخش پذیری چندجملهای ها را حل کرد. به مثالهای زیر توجه کنید:
مثال ١. باقیمانده تقسیم x3-4x2+1 را بر x+3 بدست آورید.
حل:
x+3 = 0 => x = -3
r = p(-3) = -27-36+1 = -62
مثال٢. باقیمانده تقسیم x5+3x3-x2+7 را بر x2+2 بدست آورید.
حل:
x2+2 = 0 => x2 = -2
در چند جمله ای مقسوم باید به جای x2 مقدار -2 را قرار دهیم. پس باید ابتدا آنرا برحسب x2 مرتب کنیم.
x5+3x3-x2+7 = x(x2)2+3x(x2)-x2+7
r = x(-2)2+3x(-2)-(-2)+7 = -2x+9
نتیجه کاملا طبیعی است زیرا باقیمانده تقسیم بر x2+2 می تواند حداکثر از درجه اول باشد.
مثال ٣. باقیمانده تقسیم x47+x28 را بر x2-x+1 بدست آورید.
حل:
نوشتن رابطه تقسیم کمک زیادی به حل این مسئله می کند:
x47+x28 = (x2-x+1)q(x) + r
طرفین رابطه را در x+1 ضرب می کنیم
(x+1)(x47+x28) =(x+1)(x2-x+1)q(x) + r(x+1)
x48+x47+ x29+x28 =(x3 +1)q(x) + r(x+1)
بر طبق این رابطه، باقیمانده تقسیم چندجمله ای سمت چپ بر x3 +1 عبارت r(x+1) خواهد بود. اما برای بدست آوردن این باقیمانده باید به جای x3 در دوطرف -1 قرار دهیم. البته باید ابتدا طرف چپ را بر حسب x3 مرتب کنیم:
(x3)16+(x3)15x2+ (x3)9x2+(x3)9x =(x3 +1)q(x) + r(x+1)
1-x2-x2-x = (-1+1)q(x) + r(x+1)
-2x2-x+1 = r(x+1)
(-2x+1)(x+1)=r(x+1) => r = -2x+1
کوتاه بدرد بخور مثالها نکته دار عالی بود
ممنونم از مطلب مفیدتون ما اینقدر در گیر درسهای دیه شدیم که همین تقسیم رو هم یادمون رفته بود.
متشکرم واقعا مفید بود
مطالب را پیچیده توضیح داده اید ومی شد بهتر توضیح داد
کوتاه و مفید.
یاد گرفتم. ممنون