X
تبلیغات
رایتل

مجله ریاضی

گشتی در دنیای زیبای ریاضیات

بخش‌پذیری چندجمله‌ای ها

بخش‌پذیری چندجمله‌ای ها

 

تالیف: اصغر ناصری

مردادماه ١٣٩٠ خورشیدی 

 

در تقسیم چندجمله‌ای p(x) بر x-a خارج قسمت را برابر q(x) و باقیمانده را r فرض می کنیم. در این صورت می توان نوشت:  

p(x) = (x-a)q(x) + r  

اگر در دو طرف این تساوی به جای x مقدار a را قرار دهیم بدست می‌آید:  

p(a) =  r  

یعنی باقیمانده تقسیم p(x) بر x-a برابر است با p(a). با استفاده از این حقیقت ساده می توان تعداد زیادی از مسایل مربوط به بخش پذیری چندجمله‌ای ها را حل کرد. به مثالهای زیر توجه کنید:  

مثال ١. باقیمانده تقسیم x3-4x2+1 را بر x+3 بدست آورید.

حل:

x+3 = 0 => x = -3

r = p(-3) = -27-36+1 = -62

 

مثال٢. باقیمانده تقسیم x5+3x3-x2+7 را بر x2+2 بدست آورید.

حل:

x2+2 = 0 => x2 = -2  

در چند جمله ای مقسوم باید به جای x2 مقدار -2 را قرار دهیم. پس باید ابتدا آنرا برحسب x2 مرتب کنیم.

x5+3x3-x2+7 = x(x2)2+3x(x2)-x2+7

 

r = x(-2)2+3x(-2)-(-2)+7 = -2x+9   

نتیجه کاملا طبیعی است زیرا باقیمانده تقسیم بر x2+2 می تواند حداکثر از درجه اول باشد. 

مثال ٣. باقیمانده تقسیم x47+x28 را بر x2-x+1 بدست آورید.

حل:

نوشتن رابطه تقسیم کمک زیادی به حل این مسئله می کند:

x47+x28 = (x2-x+1)q(x) + r  

طرفین رابطه را در  x+1 ضرب می کنیم 

 

(x+1)(x47+x28) =(x+1)(x2-x+1)q(x) + r(x+1)    

 

x48+x47+ x29+x28 =(x3 +1)q(x) + r(x+1)  

بر طبق این رابطه، باقیمانده تقسیم چندجمله ای سمت چپ بر x3 +1 عبارت r(x+1) خواهد بود. اما برای بدست آوردن این باقیمانده باید به جای x3 در دوطرف -1 قرار دهیم. البته باید ابتدا طرف چپ را بر حسب x3  مرتب کنیم: 

 

(x3)16+(x3)15x2+ (x3)9x2+(x3)9x =(x3 +1)q(x) + r(x+1)  

1-x2-x2-x = (-1+1)q(x) + r(x+1) 

 

-2x2-x+1 = r(x+1) 

 

(-2x+1)(x+1)=r(x+1) => r = -2x+1  

 

دانلود نسخه PDF مقاله (34 KB)

تاریخ ارسال: سه‌شنبه 18 مرداد‌ماه سال 1390 ساعت 09:27 ق.ظ | نویسنده: اصغر ناصری | چاپ مطلب
نظرات (3)
جمعه 10 شهریور‌ماه سال 1391 02:03 ب.ظ
عسگریان
امتیاز: 0 0
لینک نظر
کوتاه بدرد بخور مثالها نکته دار عالی بود
پنج‌شنبه 2 خرداد‌ماه سال 1392 06:42 ب.ظ
MAMAL
امتیاز: 0 0
لینک نظر
ممنونم از مطلب مفیدتون ما اینقدر در گیر درسهای دیه شدیم که همین تقسیم رو هم یادمون رفته بود.
یکشنبه 18 تیر‌ماه سال 1396 05:43 ب.ظ
مسافر
امتیاز: 0 0
لینک نظر
متشکرم واقعا مفید بود
برای نمایش آواتار خود در این وبلاگ در سایت Gravatar.com ثبت نام کنید. (راهنما)
نام :
پست الکترونیک :
وب/وبلاگ :
ایمیل شما بعد از ثبت نمایش داده نخواهد شد