چند معادله مثلثاتی جالب

معادله زیر را حل کنید. 

sin ³ x + cos ³ x = 1 

حل: 

به جای عدد 1 عبارت sin ² x + cos ² x را قرار می دهیم سپس عوامل را به سمت چپ منتقل کرده و فاکتورگیری می کنیم: 

sin ² x - sin ³ x + cos ² x - cos ³ x = 0 

sin ² x (1 - sin x) + cos ² x (1 - cos x) = 0           ( I )

از اتحادهای زیر استفاده می کنیم: 

sin ² x  = 1 - cos ² x = (1 - cos x)(1 + cos x)  

cos ² x  = 1 - sin ² x = (1 - sin x)(1 + sin x)  

با جایگذاری در ( I ) داریم: 

(1 - cos x)(1 + cos x) (1 - sin x) + (1 - sin x)(1 + sin x) (1 - cos x) = 0 

(1 - cos x)(1 - sin x)( 2 + cos x + sin x ) = 0 

عامل سوم همیشه مخالف صفر است (چرا؟) و از دو عامل اول داریم: 

1 - cos x = 0 --> cos x = 1 -->  x = 2kp  

1 - sin x = 0 --> sin x = 1  -->  x = 2kp + p/2 

(ادامه دارد)