اعداد اول

اعداد اول و خواص آنها برای اولین بار توسط ریاضی دانان یونان باستان مورد مطالعه قرار گرفتند.

ریاضی دانان مدرسه فیثاغورس (٥٠٠ تا ٣٠٠ سال قبل از میلاد) شیفته خواص رازآمیز و شگفت آور اعداد اول بودند. آنها ایده اصلی موجود در این اعداد و نیز خاصیت اعداد کامل و اعداد دوستدار هم را دریافته بودند.

یک عدد کامل (perfect number) عددی است که مجموع مقسوم علیه های آن مساوی خود عدد می شود. به عنوان مثال عدد 6 یک عدد کامل است زیرا 1+2+3 = 6. عدد اول بعدی 28 است زیرا 1+2+4+7+14 = 28.

یک جفت عدد دوستدار هم (amicable number) آنهایی هستند که مجموع مقسوم علیه های یکی برابر عدد دیگر شود. کوچکترین جفت این عددها عبارتند از 220 و 284.

تا زمان انتشار کتاب اصول اقلیدس در سال ٣٠٠ قبل از میلاد، خواص بسیار مهمی از اعداد اول کشف شده بود. در مقاله چهارم این کتاب، اقلیدس ثابت میکند که مجموعه اعداد اول نامتناهی است. این اثبات یکی از اولین موارد استفاده از برهان خلف برای اثبات یک قضیه ریاضی است. اقلیدس همچنین اثباتی برای قضیه بنیادی حساب می دهد: هر عدد صحیح را می توان به شکل یگانه ای بصورت حاصل ضرب عامل های اول آن نوشت. به عنوان مثال 345 = 5 x 3 x 23.

اقلیدس همچنین نشان داد که اگر عدد 2ⁿ – 1 اول باشد آنگاه عدد 2^n-1(2ⁿ - 1) یک عدد کامل است. اویلر ریاضی دان بزرگ قرن هجدهم نشان داد که تمام اعداد کامل زوج را می توان به این صورت نوشت. این که آیا عدد کامل فردی نیز وجود دارد، هنوز بر دانشمندان معلوم نشده است.

در سال ٢٠٠ قبل از میلاد اراتستن ریاضی دان یونانی روشی به نام غربال اراتستن برای تعیین اعداد اول ابداع کرد.

در طول قرون وسطی شکاف بزرگی در راه مطالعه اعداد اول یوجود آمد. توسعه بزرگ بعدی در نظریه اعداد اول توسط فرما در ابتدای قرن هفدهم رخ داد.

یونانیان باستان در ٣٠٠ سال قبل از میلاد ثابت کردند که مجموعه اعداد اول نامتناهی هستند. گرچه شکاف های بسیار بزرگی بین اعداد اول متوالی می توان یافت. در قرن نوزدهم ریاضی دانان ثابت کردند که با بزرگ شدن عدد n تعداد اعداد اول کوچک تر از n به سمت n*log n میل می کند. بنابراین یک تخمین خام برای n امین عدد اول عبارت است از n*log n. 

در سال 1984 ساموئل یتس عبارت اعداد اول تایتانیک را برای هر عدد اولی که بیش از 1000 رقم داشته باشد بکار برد. تا آن زمان حدود 110 تا از چنین اعداد اولی شناخته شده بود. هم اکنون تعداد اعداد اولی که با این خصوصیات می شناسیم 1000 برابر شده است. 

جدول زیر بزرگترین اعداد اول شناخته شده تا سال 2001 و تعداد ارقام آنها را نشان می دهد. 

rank	prime	digits
1	243112609-1	12978189
2	242643801-1	12837064
3	237156667-1	11185272
4	232582657-1	9808358
5	230402457-1	9152052
6	225964951-1	7816230
7	224036583-1	7235733
8	220996011-1	6320430
9	213466917-1	4053946

  

مراجع: 

 

1. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Prime_numbers.html 

2. http://primes.utm.edu/largest.html

نوار موبیوس و خواص شگفت انگیز آن

ریاضیات پر از شگفتی است. این شگفتی ها بیشتر حاصل همخوانی نظریات مجرد ریاضی با طبیعت عینی و ملموس پیرامون ماست. 

نوار موبیوس یکی از هزاران موضوع جالبی است که هم از لحاظ نظری و هم از لحاظ هندسی جذابیت های ویژه ای برای ریاضیدانان دارد. برای آشنایی با نحوه ساختن این نوار و ویژگی های آن بهتر است آنرا با یک نوار استوانه ای مقایسه کنیم. در حالی که یک نوار استوانه ای با چسباندن دو سر یک نوار باریک بطور ساده بدست می‌آید، برای ساختن یک نوار موبیوس باید ابتدا یک سر نوار را 180 درجه بچرخانید سپس آنرا به سر دیگر نصب کنید (شکل زیر) 

 

نوار موبیوس یک نوار بدون جهت است یعنی پشت و رو ندارد. به عبارتی در حالی که برای نوار استوانه ای می توانید پشت و رو تعریف کنید نوار موبیوس فاقد چنین خاصیتی است. 

این خاصیت را بدین صورت می توانید بررسی کنید. اگر نوک خودکار را روی یک سطح نوار موبیوس بگذارید و یک خط موازی لبه نوار بکشید، بدون قطع کردن لبه نوار می توانید سراسر طول آنرا بدون نیاز به برداشتن خودکار از روی سطح نوار طی کنید. چنین چیزی در نوار استوانه ای معمولی امکان پذیر نیست. 

اشر (Escher) هنرمند معروف این خاصیت را به زیباترین وجهی در نقاشی خود نشان داده است. در این نقاشی یک مورچه دیده می شود که بدون نیاز به عبور از لبه نوار می تواند بطور نامحدود در طول نوار موبیوس حرکت کند (شکل زیر). 

 

برای تجربه خواص جالب دیگر این نوار، آنرا در طول خطی که از میانه پهنای نوار می گذرد با قیچی ببرید (شکل زیر). نتیجه واقعا جالب و دور از انتظار خواهد بود!