مجله ریاضی
گشتی در دنیای زیبای ریاضیاتمجله ریاضی
گشتی در دنیای زیبای ریاضیاتاتحادهای مثلثاتی
نمونه مسایل اتحادها و روابط مثلثاتی، قابل استفاده برا ی دانش آموزان دبیرستان
اتحادهای جبری - قسمت اول
| دوره های آموزش ریاضی که از امروز در این وبلاگ منتشر می شود برای کمک به دانش آموزان عزیزی است که در روزهای همه گیری بیماری کووید 19 و تعطیلی مدارس و مراکز آموزشی، هنوز ارتباط خود را با درس قطع نکرده اند. با ارزوی موفقیت و روزهایی بهتر برای همه مردم جهان. نظرات خود را برایم بفرستید. |
اتحادهای جبری از مهمترین مباحث ریاضیات پایه هستند. کسب مهارت در این بخش از ریاضیات به شما کمک می‌کند عملیات جبری و محاسبات ریاضی را با سهولت و دقت بیشتری انجام دهید. عبارتهای جبری زبان ریاضیات مدرن هستند و همه شاخه‌های علوم نوین بر پایه آنها بنا شده‌اند. درک صحیح و حل درست بسیاری از مسایل ریاضی نیاز به تبحر در عملیات جبری دارد.
تعریف اتحاد جبری - یک اتحاد جبری به یک تساوی جبری گفته می‌شود که به ازای تمامی اعداد حقیقی برقرار است. آشناترین مثال قانون پخشی در جبر است:
در این تساوی به جای سه متغیر هر عدد حقیقی قرار دهیم تساوی درست خواهد بود. مثال دیگر تساوی‌های آشنای زیر هستند:
بدین ترتیب تعداد اتحادهای ممکن در جبر بی‌شمار است. ولی تعدادی از آنها را می‌توان تحت عنوان "اتحادهای مهم" نامگذاری کرد که کاربرد زیادی درعملیات جبری دارند.
بسط دادن و تجزیه
در اینجا لازم است دو عمل اصلی در جبر به نام بسط دادن و تجزیه را توضیح دهیم که تقریبا وارونه یکدیگر بشمار می‌روند. منظور از بسط دادن، ضرب عبارتهای جبری در یکدیگر و نوشتن آنها بصورت جمع است. در اینجا سعی داریم تا جای ممکن از تعداد پرانتزها بکاهیم. مثال:
منظور از تجزیه، تبدیل یک مجموع به ضرب عامل‌هاست. برای مثال:
به دو عبارت a و b - c عامل های ضربی عبارت ab - ac گفته می شود. تجزیه کاربرد مهمی در ساده کردن عبارتهای جبری از قبیل کسرهای گویا دارد. در این درس‌نامه ابتدا با اتحادهای مهم و کاربرد آنها در ساده کردن عبارتهای جبری (بسط دادن) آشنا شده سپس مبحث تجزیه را آغاز می‌کنیم.
اتحادهای مهم
اتحاد مربع دوجمله‌ای
اولین اتحاد مهم به نام مربع دو جمله‌ای موسوم است. دو شکل اصلی این اتحاد عبارتند از:
برای استفاده ساده‌تر از این اتحاد، صورت شفاهی آن را بخاطر بسپارید:
حاصل مربع دو جمله‌ای عبارت است از اولی به توان دو، بعلاوه دوبرابر اولی در دومی، بعلاوه دومی به توان دو
برای مثال طبق این اتحاد داریم:
چند مثال دیگر:
دو مثال آخر کاربرد خاص این اتحاد در محاسبات عددی را نشان می‌دهند.
چند تمرین
حاصل عبارت های زیر را به کمک اتحادها بدست آورید:
