راه حل اویلر برای مساله بازل

بر کرانه روی راین، در شمال غربی کشور سوئیس شهری قرار گرفته است که با وجود کوچکی، زادگاه برخی از بزرگترین دانشمندان تاریخ بوده است.

این شهر که پایتخت فرهنگی سوئیس نام گرفته، زادن و بالیدن نام های سترگی همچون فرزندان خانواده برنولی را شاهد بوده است. دانشگاه بازل که در سال 1460 بنیان نهاده شده در سالهای ناآرام اروپا پذیرای افراد بزرگی چون اراسموس روتردامی، خانواده هولباین، فردریش نیچه، کارل یونگ و نیز هرمان هسه و کارل یاسپرس بوده است.

اما دانشمند عظیم الشانی که خاک این شهر را به قدوم خود متبرک ساخت لئونارد اویلر بزرگ بود که در سال 1734 مساله معروف بازل را حل کرد. حل این مساله افزون بر اینکه یکی از دستاوردهای بزرگ ریاضیات و نظریه اعداد بشمار می رود، نمونه ای از درخشش نبوغ و نوآوری انسانی است.

صورت مساله بازل بسیار ساده است. مجموع نامتناهی مربعات وارون های اعداد طبیعی چیست؟ به عبارتی:

 این مساله نخستین بار توسط پیترو منگولی در 1644 طرح شد. یاکوب برنولی، یوهان برنولی، دانیل برنولی، گاتفرید لایب نیتز، استرلینگ و دموآور که همگی نامهای بزرگی در ریاضیات بودند سعی در حل این مساله و یافتن پاسخی تحلیلی برای آن برآمدند اما کوشش همگی آنها ناکام ماند. یکی از دلایل ناکامی آنها این است که سرعت همگرایی این سری بسیار آهسته است و میلیونها میلیون جمله از آن را باید بر هم افزود تا به همگرایی نزدیک شد.

در 1734 اویلر 28 ساله پاسخی تحلیلی برای این مساله یافت که جهان دانش را تکان داد. این راه حل از تمامی حملات دانشمندان معاصر در امان ماند و هم اکنون به عنوان یکی از راه حلهای استاندارد این مساله شناخته می شود. راه حل اویلر به شکل زیر است:

چند جمله ای P(x) زیر را در نظر می گیریم که دارای ریشه‌های غیر صفر  است:

ادعای چالش برانگیز اویلر این بود که هرچه در مورد یک چندجمله‌ای متناهی صدف می کند، در مورد چندجمله‌ای نامتناهی متناظرش نیز صادق است. در مورد این چندجمله‌ای داریم P(0)=1. یک چندجمله‌ای بسیار مشابه بالا عبارت است از:

که در مورد آن هم داریم P(0)=1. با استفاده از بسط مک لورن داریم:

از آنجایی که  دارای ریشه‌های   است، می‌توان شکل چند جمله‌ای آن را به صورت حاصلضرب تعداد نامتناهی پرانتز نوشت که وجود این ریشه‌ها را تضمین کند:

که با استفاده از اتحاد مزدوج می‌توان آن را بصورت زیر نوشت:

با ضرب پرانتزها و مرتب کردن جملات می‌توان نوشت:

با مقایسه با فرم چند جمله‌ای:

ضریب x² در این دو چندجمله‌ای را برابر می‌گیریم:

یا:

این راه حل در عین سادگی سرشار از نبوغ و نوآوری است. کارهای اویلر همواره راهگشای دانشندان بعدی در توسعه نظریات و ابزارهای ریاضی بوده و همچنان سهم عظیمی در پیشبرد ریاضیات دارند.

شرح و بسط راه حل از: اصغر ناصری. مدرس خصوصی و پژوهشگر ریاضیات