بخش‌پذیری چندجمله‌ای ها

بخش‌پذیری چندجمله‌ای ها

تالیف: اصغر ناصری

مردادماه ١٣٩٠ خورشیدی 

در تقسیم چندجمله‌ای p(x) بر x-a خارج قسمت را برابر q(x) و باقیمانده را r فرض می کنیم. در این صورت می توان نوشت:  

p(x) = (x-a)q(x) + r  

اگر در دو طرف این تساوی به جای x مقدار a را قرار دهیم بدست می‌آید:  

p(a) =  r  

یعنی باقیمانده تقسیم p(x) بر x-a برابر است با p(a). با استفاده از این حقیقت ساده می توان تعداد زیادی از مسایل مربوط به بخش پذیری چندجمله‌ای ها را حل کرد. به مثالهای زیر توجه کنید:  

مثال ١. باقیمانده تقسیم x³-4x²+1 را بر x+3 بدست آورید.

حل:

x+3 = 0 => x = -3

r = p(-3) = -27-36+1 = -62

مثال٢. باقیمانده تقسیم x⁵+3x³-x²+7 را بر x²+2 بدست آورید.

حل:

x²+2 = 0 => x² = -2  

در چند جمله ای مقسوم باید به جای x² مقدار -2 را قرار دهیم. پس باید ابتدا آنرا برحسب x² مرتب کنیم.

x⁵+3x³-x²+7 = x(x²)²+3x(x²)-x²+7

r = x(-2)²+3x(-2)-(-2)+7 = -2x+9   

نتیجه کاملا طبیعی است زیرا باقیمانده تقسیم بر x²+2 می تواند حداکثر از درجه اول باشد. 

مثال ٣. باقیمانده تقسیم x⁴⁷+x²⁸ را بر x²-x+1 بدست آورید.

حل:

نوشتن رابطه تقسیم کمک زیادی به حل این مسئله می کند:

x⁴⁷+x²⁸ = (x²-x+1)q(x) + r  

طرفین رابطه را در  x+1 ضرب می کنیم 

(x+1)(x⁴⁷+x²⁸) =(x+1)(x²-x+1)q(x) + r(x+1)    

x⁴⁸+x⁴⁷+ x²⁹+x²⁸ =(x³ +1)q(x) + r(x+1)  

بر طبق این رابطه، باقیمانده تقسیم چندجمله ای سمت چپ بر x³ +1 عبارت r(x+1) خواهد بود. اما برای بدست آوردن این باقیمانده باید به جای x³ در دوطرف -1 قرار دهیم. البته باید ابتدا طرف چپ را بر حسب x³  مرتب کنیم: 

(x³)¹⁶+(x³)¹⁵x²+ (x³)⁹x²+(x³)⁹x =(x³ +1)q(x) + r(x+1)  

1-x²-x²-x = (-1+1)q(x) + r(x+1) 

-2x²-x+1 = r(x+1) 

(-2x+1)(x+1)=r(x+1) => r = -2x+1  

دانلود نسخه PDF مقاله (34 KB)

سلام دوستان عزیز

هدف از راه اندازی این وبلاگ انتشار مقالات آموزشی در زمینه ریاضی است. امیدوارم این مطالب بتواند موجب آشنایی و علاقه هرچند تعداد کمی از بازدیدکنندگان وبلاگ با ریاضی شود.