اتحادهای جبری - قسمت اول

دوره های آموزش ریاضی که از امروز در این وبلاگ منتشر می شود برای کمک به دانش آموزان عزیزی است که در روزهای همه گیری بیماری کووید 19 و تعطیلی مدارس و مراکز آموزشی، هنوز ارتباط خود را با درس قطع نکرده اند.  با ارزوی موفقیت و روزهایی بهتر برای همه مردم جهان. نظرات خود را برایم بفرستید.

اتحادهای جبری از مهمترین مباحث ریاضیات پایه هستند. کسب مهارت در این بخش از ریاضیات به شما کمک می‌کند عملیات جبری و محاسبات ریاضی را با سهولت و دقت بیشتری انجام دهید. عبارت‌های جبری زبان ریاضیات مدرن هستند و همه شاخه‌های علوم نوین بر پایه آنها بنا شده‌اند. درک صحیح و حل درست بسیاری از مسایل ریاضی نیاز به تبحر در عملیات جبری دارد.

تعریف اتحاد جبری - یک اتحاد جبری به یک تساوی جبری گفته می‌شود که به ازای تمامی اعداد حقیقی برقرار است. آشناترین مثال قانون پخشی در جبر است:

در این تساوی به جای سه متغیر هر عدد حقیقی قرار دهیم تساوی درست خواهد بود. مثال دیگر تساوی‌های آشنای زیر هستند:

بدین ترتیب تعداد اتحاد‌های ممکن در جبر بی‌شمار است. ولی تعدادی از آنها را می‌توان تحت عنوان "اتحادهای مهم" نامگذاری کرد که کاربرد زیادی درعملیات جبری دارند.

بسط دادن و تجزیه                                                                              

در اینجا لازم است دو عمل اصلی در جبر به نام بسط دادن و تجزیه را توضیح دهیم که تقریبا وارونه یکدیگر بشمار می‌روند. منظور از بسط دادن، ضرب عبارت‌های جبری در یکدیگر و نوشتن آنها بصورت جمع است. در اینجا سعی داریم تا جای ممکن از تعداد پرانتزها بکاهیم. مثال:

منظور از تجزیه، تبدیل یک مجموع به ضرب عامل‌هاست. برای مثال:

به دو عبارت a و b - c عامل های ضربی عبارت ab - ac گفته می شود. تجزیه کاربرد مهمی در ساده کردن عبارت‌های جبری از قبیل کسرهای گویا دارد. در این درس‌نامه ابتدا با اتحادهای مهم و کاربرد آنها در ساده کردن عبارتهای جبری (بسط دادن) آشنا شده سپس مبحث تجزیه را آغاز می‌کنیم.

 اتحادهای مهم

اتحاد مربع دوجمله‌ای

اولین اتحاد مهم به نام مربع دو جمله‌ای موسوم است. دو شکل اصلی این اتحاد عبارتند از:

برای استفاده ساده‌تر از این اتحاد، صورت شفاهی آن را بخاطر بسپارید:

حاصل مربع دو جمله‌ای عبارت است از اولی به توان دو، بعلاوه دوبرابر اولی در دومی، بعلاوه دومی به توان دو

برای مثال طبق این اتحاد داریم:

چند مثال دیگر:

دو مثال آخر کاربرد خاص این اتحاد در محاسبات عددی را نشان می‌دهند.

چند تمرین

حاصل عبارت های زیر را به کمک اتحادها بدست آورید:

پاسخ

بمباران درسدن

تا فوریه 1945 متفقین حلقه محاصره تنگی به دور آلمان نازی کشیده بودند. در غرب، پاتک ناامیدانه آلمانها بر علیه متفقین در جنگلهای آردن بلژیک به یک شکست کامل انجامیده بود. در شرق، ارتش سرخ پروس غربی را محاصره کرده و به رودخانه آدر رسیده بود که کمتر از 80 کیلومتر با برلن فاصله داشت. از لوفت وافه، نیروی هوایی سربلند آلمان نیز اسکلتی بیشتر نمانده و متفقین بر آسمان اروپا حکومت بلامنازعی داشتند و روزانه هزاران تن بمب بر آلمان فرو می ریختند.

در کنفرانس یالتا رهبران سه قدرت اصلی متفقین، فرانکلین روزولت رییس جمهور آمریکا، وینستون چرچیل نخست وزیر انگلستان و ژوزف استالین رهبر شوروی بر سر نقشه دنیای پس از جنگ توافق کردند. چرچیل و روزولت به استالین قول دادند برای هموار کردن راه پیشروی روسها در شرق آلمان همچنان به بمباران خاک اصلی آلمان ادامه دهند.

تکنیک مورد استفاده متفقین برای نابودی زیرساخت صنعتی آلمان و درهم شکستن روحیه مردم غیرنظامی این کشور، بمباران گسترده شهرها با استفاده از بمب های آتش زا بود. این بمب ها که با استفاده از مواد فسفری ساخته شده بودند با ایجاد آتش گسترده تولید طوفان های آتشین و بسیار سوزانی می کردند که همه چیز را کام خود فرو می بردند. متفقین هیچگاه غیرانسانی بودن این روشها را نپذیرفتند. استدلال آنها برای تخریب گسترده شهرهای آلمان و کشتار غیرنظامیان این بود که شهروندان آلمان سربازانی را پرورش دادد که مسئول مرگ 10 میلیون تن از نیروهای متفقین و تعداد بیشتری غیرنظامیان بودند. تصمیم به بمباران درسدن در پناه چنین توجیحاتی گرفته شد.

فوریه 1945: کشتار هولناک درسدن

تا پیش از جنگ جهانی دوم درسدن بواسطه معماری خیره کننده و موزه های آن یکی از زیباترین شهرهای دنیا بشمار می آمد. سهم درسدن در جنگ در مقایسه با سایر شهرهای آلمان بسیار اندک بود. در فوریه 1945 مردم بسیاری از شهرهای شرقی آلمان که از برابر نیروهای روس گریخته بودند به این شهر پناه آورده بودند. هیتلر بیشتر نیروهای باقیمانده خود را برای دفاع از برلن فراخوانده بود و نیروهای دفاعی در درسدن اندک بودند. احتمال کمی بود که درسدن هدف عمده ای برای حمله نیروهای متفق باشد.

 درسدن پیش از جنگ

حمله غیرمنتظره متفقین به درسدن در 13 فوریه آغاز شد. صدها بمب افکن لنکستر انگلیسی محموله مرگبار خود را بدون تمایز بر سر شهر ریختند. دفاع هوایی شهر آنقدر ضعیف بود که تنها شش بمب افکن لنکستر سرنگون شدند. تا صبح آنروز حدود 800 بمب افکن بریتانیا حدود 1400 تن بمب سنگین و بیش از 1100 تن آتش زا بر درسدن ریختند. طوفان آتش زای سهمگین ناشی از این بمباران بیشتر شهر را ویران ساخته و تعداد کثیری از مردم بی دفاع را زنده زنده سوزانید. ساعاتی بعد بیش از 200 بمب افکن آمریکایی خطوط راه آهن، پل ها و زیرساخت حمل و نقل شهر را بمباران کردند. در 15 فوریه 200 بمب افکن آمریکایی دیگر 950 تن ماده منفجره و بیش از 290 تن ماده آتش زا بر شهر ریختند. تا پیش از پایان جنگ، نیروی هوایی هشتم آمریکا حدود 2800 تن بمب دیگر بر درسدن ریختند.

درسدن صبح پس از بمباران

در مورد تعداد کشته شدگان این بمبارانهای هولناک اختلاف نظر زیادی وجود دارد. برخی آمارها از تلفات 200 هزار غیرنظامی خبر داده اند که بدین ترتیب از تعداد کشته شدگان هیروشیما یا ناکازاکی تجاوز می کند. بسیاری معتقدند بمباران درسدن نمونه کامل یک جنایت جنگی بوده است، لیکن متفقین هیچگاه این اتهام را نپذیرفتند.

https://www.history.com/topics/world-war-ii/battle-of-dresden

آلن تورینگ و شکستن رمزهای مخابراتی آلمانها

در سالهای ابتدایی جنگ جهانی دوم، آلمانها از ماشینی به نام انیگما (Enigma) برای تولید و ارسال رمز استفاده می‌کردند. این ماشین می توانست رمزهای پیچیده‌ای تولید کند که برای ارسال پیام جهت زیردریایی های مخوف آلمانی موسوم به u-boat بسیار مناسب بودند. از رمز درآوردن این پیامها نیز توسط نسخه‌ای از این ماشین در مقصد انجام می شد. بدین ترتیب آلمانها توانستند با عملیات پنهانی تلفات زیادی به کشتی های تجاری و جنگی متفقین وارد سازند. گرچه ریاضیدانان لهستانی توانسته بودند پیامهای انیگما را کشف رمز کرده و بخوانند، از سال 1941 به بعد آلمانها سیستم رمزنگاری خود را بطور روزانه تغییر دهند. این کار شکستن رمزها را بسیار دشوارتر ساخت. برای مقابله با این تکنیک موثر آلمانها دنیا باید منتظر ورود یک نابغه ریاضیات می ماند و آن کسی نبود جز آلن تورینگ (Alan Turing).

a German U-boat

Enigma

آلن تورینگ (Alan Turing) یک ریاضیدان نابغه انگلیسی متولد سال 1912 درلندن بود. او در هر دو دانشگاه کمبریج و پرینستون درس خوانده بود. در سال 199 او یک شغل تمام وقت در بلیچ لی پارک در بوکینگ همپشایر لندن اختیار کرده و از جانب دولت انگلستان مسئول کار بر روی شکستن رمزهای مخابراتی آلمانها شد.

آلن تورینگ

بسیاری از متخصصین قبل از تورینگ روی این موضوع کار کرده و شکست خورده بودند. در سال 1941 برخی قطعات رمزهای انیگما بدست متفقین افتاد و تورینگ توانست از روی آنها تکنیکی به نام بن بوریسموس ابداع کند که کدهارا قابل خواندن می ساخت. غیر از وقفه ای که در سال 1942 افتاد و طی آن کدهای آلمان غیرقابل خواندن شد، در سالهای انتهایی جنگ ناوگانهای تجاری و جنگی متفقین توانستند با بهره گیری از رمزشکنی ابدع شده توسط تورینگ و تیم همکارش، از محل تجمع و اعزام دسته های زیردریایی یو-بوت آلمانی احتراز کنند.

در سال 1942 تورینگ یک تکنیک پیچیده کدشکنی به نام تورینگری ابداع کرد که می توانست کدهای سیستم لورنز آلمان را بشکند. از این ماشین برای تولید کدهای استراتژیک بسیار مهم فرماندهی عالی آلمان استفاده می شد. کار تورینگ در این زمینه کمک های بسیار بزرگی به متفقین کرد.

این دانشمند و نابغه بی همتا هیچگاه بخاطر خدمات بزرگ خود مورد تقدیری که شایسته آن بود قرار نگرفت. در سال 1952 آلن تورینگ به جرم همجنس گرایی دستگیر شد. او به اتهام "بی شرمی گستاخانه" مورد محاکمه قرار گرفت لیکن او را به زندان نیفکندند. دو سال بعد جنازه او را یافتند در حالی که با سیانور مسموم شده بود. نتایج یک تحقیق رای به خودکشی او داد.

جزئیات کار تورینگ به دلیل مسایل امنیتی تا سالها پس از مرگ او فاش نشد. از این رو دنیا پی به اهمیت کار او در توسعه علوم کامپیوتری نبرد. تنها در دهه 1990 بود که عملیات تیم بلیچ لی که تورینگ آن را هدایت می کرد بطور کامل فاش شد. چنین تخمین زده می شود که تلاشهای تورینگ و هم تیمی هایش جنگ جهانی دوم را سالها کوتاهتر کرده و جان افراد بیشماری را نجات داد. لیکن او هیچگاه قدر و منزلتی درخور یک دانشمند نابغه بزرگ را نیافت، امری که نشان می‌دهد برای قدرتهای امپریالیستی هدف همواره مهمتر از مقام و شان انسانهاست.

منبع اصلی:

http://www.iwm.org.uk/history/how-alan-turing-cracked-the-enigma-code

عدد شگفت انگیز

ریاضیات قلمرو زیبایی های بی مانند است. برخی اعداد در ریاضیات ویژگی هایی بسیار شگفت انگیز دارند. در این مقاله یکی از این اعداد جالب را معرفی می کنیم.

دو عدد 37 و 91 یک شباهت ساده دارند: مجموع ارقام هر دو برابر 10 است. اگر این دو عدد را در هم ضرب کنیم به عدد 3367 می رسیم.

حالا دنباله اعداد زیر را در نظر بگیرید:

33, 66, 99, 132, 165, 198,, 232, ...

این اعداد از ارقامی ساخته شده اند که سه واحد بیش از رقم قبلی هستند. البته پس از 99 به عدد 1212 می رسیم که برای آنکه یک عدد سه رقمی شود دو رقم وسطی با هم جمع شده اند. همچنین عدد بعدی 1515 است که به 165 تبدیل می شود.حالا این اعداد را در 3367 ضرب می کنیم:

33 x 3367 = 111111

66 x 3367 = 222222

99 x 3367 = 333333

132x 3367 = 444444

165 x 3367 = 555555

198 x 3367 = 666666

... ... ... ... ...

اعداد اول فرما

یک عدد اول (prime number) عددی صحیح است که تنها بر یک و خودش بخش پذیر باشد. مطالعه اعداد اول بخش مهمی از نظریه اعداد را تشکیل می دهد. اعداد اول آجرهای ساختمانی نظریه اعداد هستند زیرا هر عدد صحیح را می توان به صورت ضرب عاملهای اول نوشت. در نظریه اعداد براحتی ثابت می شود که مجموعه اعداد اول نامتناهی هستند یعنی بزرگترین عدد اول وجود ندارد.

در طول تاریخ تلاشهای فراوانی برای بسط روشهای تشخیص اول بودن اعداد انجام شده است و این موضوع هنوز محل بحث و تحقیق در ریاضیات است.

اعداد فرما که شکل کلی 

دارند برای چند قرن مورد کنکاش قرار گرفته اند. پنج عدد نخست این مجموعه:

همگی اول هستند. فرما در قرن شانزدهم ادعا کرد که تمامی اعداد فرما اول هستند. این یکی از اشتباهات معدود ولی بزرگ فرما بود. برایn = 5 به یک عدد مرکب بر می خوریم:

برخی اعداد اول بسیار بزرگ از فرمول بالا بدست می آیند. ماند عدد غول آسای اسکات:

---

تدریس خصوصی ریاضیات دبیرستان و دانشگاه توسط مدرس مجرب با سابقه بیش از بیست سال تدریس دروس مختلف ریاضی - شماره تماس [phone]   (ناصری)