مثلثات و کنکور 96

آموزش ناقص مثلثات یکی از اشکالات بزرگ نظام جدید آموزشی از ابتدای اجرای آن بوده است. این در حالی است که مثلثات یکی از مواد ریاضی مهم بوده و نقش مهمی در علوم بنیادی مانند فیزیک دارد. در این پست نگاهی داریم به سوالات کنکور 96 که در زمینه مثلثات مطرح شده است. نکته قابل توجه این است که بیشتر دانش آموزان از کنار تستهای مثلثات با بی تفاوتی رد می شوند و عطای آن را به لقایش می بخشند. این موضوع برای دانش آموزان علاقمند به ریاضی فرصت خوبی است زیرا با زدن چند تست صحیح مثلثات براحتی رتبه خود را نسبت به سایرین بهبود می بخشند (برای کاهش حجم تصاویر از کیفیت آنها کاسته شده است).

ابتدا یک مخرج مشترک ساده می‌گیریم:

در این مرحله باید چند اتحاد مثلثاتی یادآوری شود. مخرج کسر بدین ترتیب قابل تبدیل است:

برای تبدیل مخرج کسر به اتحادهای زیر نیاز داریم:

در خط بالا از اتحاد زیر استفاده شده است:

حالا به کسر اصلی برمی گردیم:

و گزینه 3 صحیح است.

روش دوم: ممکن است برخی مقدار دقیق sin 15 و cos 15 را بدانند. در این صورت می توان با استفاده از تساوی های زیر مقدار عبارت مزبور را محاسبه کرد.

بدین ترتیب حاصل عبارت خواسته شده را می توان محاسبه کرد:

مشکل اینجاست که تعداد کمی از دانش آموزان بطور معمول مقدار این دو نسبت مثلثاتی را حفظ می‌کنند.

می توانید نسخه قابل چاپ این مطلب را به فرمت PDF از اینجا دانلود کنید.

حدس گولدباخ

به تساوی‌های زیر دقت کنید: 

4   = 2 + 2 

6   = 3 + 3 

8   = 3 + 5 

10 = 3 + 7 

12 = 5 + 7 

14 = 7 + 7 

16 = 5 + 11 

18 = 7 + 11 

20 = 7 + 13 

22 = 5 + 17 

24 = 7 + 17 

... 

به نظر می رسد هر عدد زوج بزرگتر از 2 را می‌توان بصورت مجموع دو عدد اول نوشت. آیا این امر برای تمام اعداد زوج بزرگتر از 2 امکان پذیر است؟ اولین بار کریستین گولدباخ دانشمند نظریه اعداد (1690 تا 1764 میلادی) این نظریه را مطرح کرد. تلاش دانشمندان برای اثبات این مسئله هنوز به نتیجه نرسیده است!

دوقلوهای اول

دوقلوهای اول یا prime twines ، یک جفت عدد اول هستند که 2 واحد با یکدیگر تقاوت دارند. چند مثال از این جفت اعداد عبارتند از (3,5)، (11,13) و (1000000007,1000000009). بزرگترین دو قلوی اول شناخته شده عبارتند از: 

 

هرکدام از اعداد فوق 11713 رقم دارند. چه تعداد از این جفت اعداد اول وجود دارد؟ آیا تعداد این جفت اعداد اول محدود است یا نامحدود؟ هنوز کسی پاسخ این پرسش‌ها را نمی‌داند! 

منبع: 

http://www.math.utah.edu/~pa/math/conjectures.html

شگفتی های ریاضی

با ترکیب ارقام 1 تا 9 با ترتیب صحیح و عمل جمع و تفریق، به عدد 100 برسید. 

پاسخ: 

 12 + 3 - 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100

آیا ترکیب دیگری می شناسید؟ 

 -----------------------------------------------------------------------------------------------------

یک رشته جالب: 

1 × 9 + 2 = 11
12 × 9 + 3 = 111
123 × 9 + 4 = 1111 

... 

------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

حل یک معادله مثلثاتی جالب

مسئله- معادله زیر را حل کنید: 

cos x cos 3x = 1 

با استفاده از فرمول تبدیل ضرب به جمع  : 

 cos A cos B = 1/2 { cos (A+B) + cos (A- B) }

می توان تساوی زیر را به دست آورد: 

 cox 4x + 2x = 2 

 از این معادله بلافاصله نتیجه می شود: 

 cos 4x = cos 2x = 1 

زیرا اگر یکی از این عوامل کمتر از 1 باشد دیگری باید بزرگتر از یک باشد که این امر غیر ممکن است .در نتیجه داریم: 

 cos 4x = 1 --> 4x = k(pi) + pi/2  --> x = k(pi)/4 +pi/8

cos 2x = 1 --> 2x = k'(pi) + pi/2 --> x = k'(pi)/2 + pi/4 

دو معادله فوق باید همزمان برقرار باشند بنابراین باید : 

x = k"(pi)/8 + pi/8