معادلات تابعی

یکی از مسایل جالب آنالیز ریاضی، معادلات تابعی هستند. منظور از یک معادله تابعی، یک تساوی بین مقادیر مختلف یک تابع در آرگومانهای مختلف است. در این نوشتار برای ورود به این مبحث جالب، یک معادله تابعی نمونه را طرح و حل می کنیم.

- تابع f(x) را به گونه ای تعیین کنید که f(x+f(y))=x+y+1

حل: با قراردادن y=0 خواهیم داشت:

f(x+f(0))=x+1

اگر f(0)=c فرض کنیم داریم f(x+c)=x+1 بنابراین f(x)=x-c+1

از آخرین تساوی خواهیم داشت f(0)=-c+1 بنابراین:

f(0)=c  ,        f(0)=-c+1  ->   c=-c+1  ->     2c=1   ->    c=1/2

بنابراین

f(x)=x-1/2+1 ->    f(x)=x+1/2

---

معادلات تابعی مسایل خوبی برای نوآوری و ابتکار هستند. این گونه مسایل راه حل کلاسیک ندارند و هرکدام نیاز به راه حل خلاقانه جداگانه‌ای دارند.

طرح و بحث: اصغر ناصری، مدرس خصوصی ریاضیات دبیرستان و دانشگاه - 09360771981