مجموعه درسهای ریاضیات دبیرستان

مجانب منحنی تابع

تالیف: اصغر ناصری، مدرس دروس ریاضیات و دبیرستان

مجانب یک منحنی، خطی است که فاصله آن تا منحنی، با نزدیک شدن x یا y به بی‌نهایت، کمتر و کمتر می‌شود. به عبارت دیگر، مجانب خطی است که در بی‌نهایت بر منحنی تابع مماس می‌شود.

برای مطالعه این مطلب آموزشی مفید، فایل PDF زیر را مطالعه فرمایید.

مجانب منحنی تابع

عدد شگفت انگیز اویلر

عدد اویلر e که یک عدد اعشاری بی انتها و نزدیک به 2.71828 است، بطور طبیعی در گستره شگفت انگیزی از محیط زیست بشری خود را می‌نمایاند. معادلات حاوی e رفتار متغیرهای دنیای واقعی در زیست شناسی، آمار و مهندسی را بازتاب می دهند.

این عدد برای اولین بار در سال 1683 ظهور یافت، زمانی که ژاکوب برنولی استاد دانشگاه بازل سرگرم مطالعه معادلات سود مرکب بود. او می خواست بداند اگر یک بانک روی یک وام یک دلاری، 100 درصد نرخ سود سالانه مرکب به تعداد نامحدود در سال اخذ کند چه اتفاقی خواهد افتاد. عددی که او پیدا کرد همان e بود. معادله ای که برنولی به آن دست یافت به قرار زیر بود:

لئونارد اویلر ریاضیدان بزرگ در سال 1731 نام e را بر این عدد نهاد. از آن پس این عدد خود را در مهمترین معادلات احتمال، آمار، مهندسی، زیست شناسی، ترمودینامیک و فیزیک نشان داده است.

"تصور کنید 100 نفر در یک مهمانی شرکت یابند و همگی کت خود را به رخت آویز بیاویزند. فرض کنید هنگام رفتن میزبان به هر نفر بطور تصادفی یک کت بدهد احتمال اینکه هیچ کس کت خود را دریافت نکند با افزایش تعداد افراد به عدد 1/e نزدیک و نزدیکتر می شود".

این عدد همچنین در منحنی های زنگوله ای خود را می نمایاند، منحنی هایی آماری درباره متغیرهای تصادفی که به یکدیگر اضافه می شوند. معادله اساسی یک منحنی زنگوله ای به قرار زیر است:

که در آن متغیرها عبارتند از:

عدد e در معادلات مربوط به تعیین سن ارگانیسم های زنده با استفاده از کربن 14و تلاشی نمایی مواد رادیواکتیو نیز ظاهر می شود. وقتی یک موجود زنده می میرد، کربن 14 موجود در استخوانهای او شروع به تلاشی می کند. کربن 14 نیمه عمر مشخصی دارد و میزان باقی مانده در استخوان موجود زنده تابع زمانی است که از مرگ آن موجود گذشته است.

بدین ترتیب عدد e را می توان یکی از شگفت انگیزترین اعداد دردنیای ریاضیات دانست.

منبع: Popular Mechanics

آمادگی برای امتحان حسابان 2

مجموعه آخرین گام ها برای آماده شدن جهت امتحان پایان سال تدوین شده است. این مجموعه که حل تشریحی و مفصل سوالات مهم پایان سال است، می تواند به عنوان آخرین و مهم ترین گامهای لازم برای آماده شدن جهت امتحان در ساعات پایانی مورد استفاده قرار گیرد. جهت دانلود آخرین گامها برای حسابان 2 روی تصویر مزیر کلیک کنید.

معادلات تابعی

یکی از مسایل جالب آنالیز ریاضی، معادلات تابعی هستند. منظور از یک معادله تابعی، یک تساوی بین مقادیر مختلف یک تابع در آرگومانهای مختلف است. در این نوشتار برای ورود به این مبحث جالب، یک معادله تابعی نمونه را طرح و حل می کنیم.

- تابع f(x) را به گونه ای تعیین کنید که f(x+f(y))=x+y+1

حل: با قراردادن y=0 خواهیم داشت:

f(x+f(0))=x+1

اگر f(0)=c فرض کنیم داریم f(x+c)=x+1 بنابراین f(x)=x-c+1

از آخرین تساوی خواهیم داشت f(0)=-c+1 بنابراین:

f(0)=c  ,        f(0)=-c+1  ->   c=-c+1  ->     2c=1   ->    c=1/2

بنابراین

f(x)=x-1/2+1 ->    f(x)=x+1/2

---

معادلات تابعی مسایل خوبی برای نوآوری و ابتکار هستند. این گونه مسایل راه حل کلاسیک ندارند و هرکدام نیاز به راه حل خلاقانه جداگانه‌ای دارند.

طرح و بحث: اصغر ناصری، مدرس خصوصی ریاضیات دبیرستان و دانشگاه - 09360771981

اتحادهای جبری - قسمت اول

دوره های آموزش ریاضی که از امروز در این وبلاگ منتشر می شود برای کمک به دانش آموزان عزیزی است که در روزهای همه گیری بیماری کووید 19 و تعطیلی مدارس و مراکز آموزشی، هنوز ارتباط خود را با درس قطع نکرده اند.  با ارزوی موفقیت و روزهایی بهتر برای همه مردم جهان. نظرات خود را برایم بفرستید.

اتحادهای جبری از مهمترین مباحث ریاضیات پایه هستند. کسب مهارت در این بخش از ریاضیات به شما کمک می‌کند عملیات جبری و محاسبات ریاضی را با سهولت و دقت بیشتری انجام دهید. عبارت‌های جبری زبان ریاضیات مدرن هستند و همه شاخه‌های علوم نوین بر پایه آنها بنا شده‌اند. درک صحیح و حل درست بسیاری از مسایل ریاضی نیاز به تبحر در عملیات جبری دارد.

تعریف اتحاد جبری - یک اتحاد جبری به یک تساوی جبری گفته می‌شود که به ازای تمامی اعداد حقیقی برقرار است. آشناترین مثال قانون پخشی در جبر است:

در این تساوی به جای سه متغیر هر عدد حقیقی قرار دهیم تساوی درست خواهد بود. مثال دیگر تساوی‌های آشنای زیر هستند:

بدین ترتیب تعداد اتحاد‌های ممکن در جبر بی‌شمار است. ولی تعدادی از آنها را می‌توان تحت عنوان "اتحادهای مهم" نامگذاری کرد که کاربرد زیادی درعملیات جبری دارند.

بسط دادن و تجزیه                                                                              

در اینجا لازم است دو عمل اصلی در جبر به نام بسط دادن و تجزیه را توضیح دهیم که تقریبا وارونه یکدیگر بشمار می‌روند. منظور از بسط دادن، ضرب عبارت‌های جبری در یکدیگر و نوشتن آنها بصورت جمع است. در اینجا سعی داریم تا جای ممکن از تعداد پرانتزها بکاهیم. مثال:

منظور از تجزیه، تبدیل یک مجموع به ضرب عامل‌هاست. برای مثال:

به دو عبارت a و b - c عامل های ضربی عبارت ab - ac گفته می شود. تجزیه کاربرد مهمی در ساده کردن عبارت‌های جبری از قبیل کسرهای گویا دارد. در این درس‌نامه ابتدا با اتحادهای مهم و کاربرد آنها در ساده کردن عبارتهای جبری (بسط دادن) آشنا شده سپس مبحث تجزیه را آغاز می‌کنیم.

 اتحادهای مهم

اتحاد مربع دوجمله‌ای

اولین اتحاد مهم به نام مربع دو جمله‌ای موسوم است. دو شکل اصلی این اتحاد عبارتند از:

برای استفاده ساده‌تر از این اتحاد، صورت شفاهی آن را بخاطر بسپارید:

حاصل مربع دو جمله‌ای عبارت است از اولی به توان دو، بعلاوه دوبرابر اولی در دومی، بعلاوه دومی به توان دو

برای مثال طبق این اتحاد داریم:

چند مثال دیگر:

دو مثال آخر کاربرد خاص این اتحاد در محاسبات عددی را نشان می‌دهند.

چند تمرین

حاصل عبارت های زیر را به کمک اتحادها بدست آورید:

پاسخ