حدس گولدباخ

به تساوی‌های زیر دقت کنید: 

4   = 2 + 2 

6   = 3 + 3 

8   = 3 + 5 

10 = 3 + 7 

12 = 5 + 7 

14 = 7 + 7 

16 = 5 + 11 

18 = 7 + 11 

20 = 7 + 13 

22 = 5 + 17 

24 = 7 + 17 

... 

به نظر می رسد هر عدد زوج بزرگتر از 2 را می‌توان بصورت مجموع دو عدد اول نوشت. آیا این امر برای تمام اعداد زوج بزرگتر از 2 امکان پذیر است؟ اولین بار کریستین گولدباخ دانشمند نظریه اعداد (1690 تا 1764 میلادی) این نظریه را مطرح کرد. تلاش دانشمندان برای اثبات این مسئله هنوز به نتیجه نرسیده است!

دوقلوهای اول

دوقلوهای اول یا prime twines ، یک جفت عدد اول هستند که 2 واحد با یکدیگر تقاوت دارند. چند مثال از این جفت اعداد عبارتند از (3,5)، (11,13) و (1000000007,1000000009). بزرگترین دو قلوی اول شناخته شده عبارتند از: 

 

هرکدام از اعداد فوق 11713 رقم دارند. چه تعداد از این جفت اعداد اول وجود دارد؟ آیا تعداد این جفت اعداد اول محدود است یا نامحدود؟ هنوز کسی پاسخ این پرسش‌ها را نمی‌داند! 

منبع: 

http://www.math.utah.edu/~pa/math/conjectures.html

شگفتی های ریاضی

با ترکیب ارقام 1 تا 9 با ترتیب صحیح و عمل جمع و تفریق، به عدد 100 برسید. 

پاسخ: 

 12 + 3 - 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100

آیا ترکیب دیگری می شناسید؟ 

 -----------------------------------------------------------------------------------------------------

یک رشته جالب: 

1 × 9 + 2 = 11
12 × 9 + 3 = 111
123 × 9 + 4 = 1111 

... 

------------------------------------------------------------------------------------------------------ 

حل یک معادله مثلثاتی جالب

مسئله- معادله زیر را حل کنید: 

cos x cos 3x = 1 

با استفاده از فرمول تبدیل ضرب به جمع  : 

 cos A cos B = 1/2 { cos (A+B) + cos (A- B) }

می توان تساوی زیر را به دست آورد: 

 cox 4x + 2x = 2 

 از این معادله بلافاصله نتیجه می شود: 

 cos 4x = cos 2x = 1 

زیرا اگر یکی از این عوامل کمتر از 1 باشد دیگری باید بزرگتر از یک باشد که این امر غیر ممکن است .در نتیجه داریم: 

 cos 4x = 1 --> 4x = k(pi) + pi/2  --> x = k(pi)/4 +pi/8

cos 2x = 1 --> 2x = k'(pi) + pi/2 --> x = k'(pi)/2 + pi/4 

دو معادله فوق باید همزمان برقرار باشند بنابراین باید : 

x = k"(pi)/8 + pi/8

سوالات آزمون ورودی دبیرستان‌های نمونه دولتی

دو سری سوال از آزمون ورودی دبیرستان‌های نمونه دولتی 

1. نمونه اول Dabirestan.pdf 

2. نمونه دوم Dabirestan1.pdf