خواص شگفت انگیز مثلث خیام-پاسکال

یکی از آرایه های جالب در ریاضی، مثلث خیام-پاسکال است که ابتدا توسط حکیم عمر خیام دانشمند بزرگ ایرانی (متولد 427 هجری قمری - 1048 میلادی) وسپس توسط بلیز پاسکال در ششصد سال بعد صورت بندی شد. سطرهای اولیه مثلث مزبور به قرار زیر است:

هر عدد در این مثلث مجموع دو عددی است که در بالا و سمت چپ و راست آن قرار دارند. برای مثال 6 + 4  = 10

مهمترین کاربرد این مثلث در محاسبه ضرایب بسط دو جمله ای نیوتن است. برای مثال سطر پنجم ضرایب بسط توان چهارم بسط دوجمله ای را می دهد:

(a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

^{این مثلث بظاهر ساده خواص بسیار جالب و حتی بدون اغراق شگفت انگیزی دارد. برای مثال اگر آن را بصورت زیر بنویسیم:}

^{ستون سوم اعداد مثلثی را نشان می دهند. یعنی اگر آنها را بصورت مهره هایی  نشان دهیم مثلث هایی بدست خواهند آمد:}

همچنین ستون چهارم اعدادتترائدرال (tetrahedral) یا هرم مثلث القاعده را می سازند:

ستونهای بعدی نیز الگوهای مشابهی می سازند. خاصیت جالب بعدی این است که مجموع اعداد هر سطر از مثلث، یکی از توانهای عددد 2 است:

اما یکی از زیباترین خواص این مثلث آن است که اگر اعداد هر سطر را چسبیده به هم بنویسیم، اعداد حاصل توانهای 11 خواهند بود:

و بالاخره اینکه مجموع اعداد قطری، دنباله معروف فیبوناچی را خواهد ساخت. البته اگر مثلث را به شکل ویژه قائم الزاویه رسم کنیم:

مثلث خیام-پاسکال خواص جالب بسیار دیگری نیز دارد که برخی از آنها را می توانید در مقاله زیر مطالعه کنید:

https://medium.com/i-math/top-10-secrets-of-pascals-triangle-6012ba9c5e23

---

تدریس خصوصی دروس ریاضی دبیرستان و دانشگاه

توسط مدرس مجرب با بیش ازبیست سال تجربه و رکورد 250 دانشجوی پذیرفته شده در دانشگاه

تماس تنها با ارسال پیامک به شماره 09360771981 (بلافاصله پس از دریافت پیامک با شما تماس گرفته خواهد شد).

روشهای نوآورانه تست زنی (1)

روش مستقیم حل این است که f^-1 را بدست آورده و (f^-1(sinx را محاسبه کنیم. ولی این کار زمان زیادی از ما خواهد گرفت زیرا مستلزم حل یک معادله درجه 2 است. بازهم در اینجا تسلط بر مثلثات راه ساده ای در اختیار ما قرار خواهد داد. داریم:

اتحاد زیر را ملاحظه کنید:

 با مقایسه این اتحاد با ضابطه تابع f بسادگی نتیجه می شود:

y= f^-1(sinx)=tan x

و گزینه 1 صحیح است.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

تدریس خصوصی دروس ریاضی دبیرستان و دانشگاه

توسط مدرس مجرب با بیش ازبیست سال تجربه و رکورد 250 دانشجوی پذیرفته شده در دانشگاه

تماس تنها با ارسال پیامک به شماره 09360771981 (بلافاصله پس از دریافت پیامک باشما تماس گرفته خواهد شد).

برخی اعداد اول جالب

یک عدد اول عددی است که تنها بر یک و خودش بخش پذیر است. اعداد اول نظریه مهمی از ریاضیات را به خود اختصاص می دهند. برخی از اعداد اول صورتها ی بسیار جالبی دارند. برای مثال عدد لیلاند:

4405²⁶³⁸ + 2638⁴⁴⁰⁵

یک عدد اول با 15071 رقم است. بدون کامپیوترها و الگوریتم های پیشرفته امکان اثبات اول بودن چنین اعدادی وجود ندارد.

مثلثات و کنکور 96

مثلثات و کنکور 96

آموزش ناقص مثلثات یکی از اشکالات بزرگ نظام جدید آموزشی از ابتدای اجرای آن بوده است. این در حالی است که مثلثات یکی از مواد ریاضی مهم بوده و نقش مهمی در علوم بنیادی مانند فیزیک دارد. در این پست نگاهی داریم به سوالات کنکور 96 که در زمینه مثلثات مطرح شده است. نکته قابل توجه این است که بیشتر دانش آموزان از کنار تستهای مثلثات با بی تفاوتی رد می شوند و عطای آن را به لقایش می بخشند. این موضوع برای دانش آموزان علاقمند به ریاضی فرصت خوبی است زیرا با زدن چند تست صحیح مثلثات براحتی رتبه خود را نسبت به سایرین بهبود می بخشند.

بطور متوسط در هر دوره کنکور سراسری رشته ریاضی، 8 تست مثلثات آورده می شود. بنابراین مثلثات یکی از سرنوشت سازترین دروس در کنکور سراسری است. در این مقاله حل تشریحی کامل پنج تست اصلی مثلثات کنکور سراسری سال 1396 رشته ریاضی آورده شده است.

دانلود متن کامل به فرمت PDF

مثلثات و کنکور 96

آموزش ناقص مثلثات یکی از اشکالات بزرگ نظام جدید آموزشی از ابتدای اجرای آن بوده است. این در حالی است که مثلثات یکی از مواد ریاضی مهم بوده و نقش مهمی در علوم بنیادی مانند فیزیک دارد. در این پست نگاهی داریم به سوالات کنکور 96 که در زمینه مثلثات مطرح شده است. نکته قابل توجه این است که بیشتر دانش آموزان از کنار تستهای مثلثات با بی تفاوتی رد می شوند و عطای آن را به لقایش می بخشند. این موضوع برای دانش آموزان علاقمند به ریاضی فرصت خوبی است زیرا با زدن چند تست صحیح مثلثات براحتی رتبه خود را نسبت به سایرین بهبود می بخشند (برای کاهش حجم تصاویر از کیفیت آنها کاسته شده است).

ابتدا یک مخرج مشترک ساده می‌گیریم:

در این مرحله باید چند اتحاد مثلثاتی یادآوری شود. مخرج کسر بدین ترتیب قابل تبدیل است:

برای تبدیل مخرج کسر به اتحادهای زیر نیاز داریم:

در خط بالا از اتحاد زیر استفاده شده است:

حالا به کسر اصلی برمی گردیم:

و گزینه 3 صحیح است.

روش دوم: ممکن است برخی مقدار دقیق sin 15 و cos 15 را بدانند. در این صورت می توان با استفاده از تساوی های زیر مقدار عبارت مزبور را محاسبه کرد.

بدین ترتیب حاصل عبارت خواسته شده را می توان محاسبه کرد:

مشکل اینجاست که تعداد کمی از دانش آموزان بطور معمول مقدار این دو نسبت مثلثاتی را حفظ می‌کنند.

می توانید نسخه قابل چاپ این مطلب را به فرمت PDF از اینجا دانلود کنید.